FISIKA MATEMATIKA

FISIKA MATEMATIKA

 Tugas matakuliah pilihan : 

Dosen : Dr. Syarwi, M. Si.

Pokok pembahasan :

1. Barisan dan barisan
2. Diferensial (biasa dan parsial )
3. Integral
4. Bilangan komplek

1.  BARISAN DAN DERET

 Barisan adalah bilangan yang dipisahkan dengan koma

Contoh :

1, 2, 3, 4, 5, . . .

2, 4, 6, 8, . . .

Deret : bilangan yang dipisahkan dengan + dan membentuk pola tertentu

Contoh :

2 + 4 + 6 + 8 + . . .

Nilai suku ke-n suatu deret dilambangkan U_n.

Dirumuskan :

U_n = a + (n-1) d

Dengan :

a = suku pertama

n = jumlah suku

d = nilai beda (diferensial)

jumlah suku ke-n deret hitung

dirumuskan :

S_n = 

contoh soal :

1.      2 + 4 + 6 + 8 + . . . tentukan nilai suku ke-20.

jawab :

a = 2, n = 20, d = U₂ – U₁ = 4-2 = 2

U₂₀ = a + (n-1) d

=2 + ( 20-1)2

=40

2.      Deret : 2 + 6 + 8 + . . . tentukan jumlah deret suku ke 50

jawab :

S_n = 

=

=25 ( 4 + 98 )

= 2550

Latihan soal :

1.      Tentukan nilai suku ke-32 dan jumlah nilai deret  suku ke-40, untuk deret berikut :

a)      3 + 6 + 9 + 12 + . . .

b)      -8 -4 + 0 + 4 + . . .

2.      Dapatkan deret hitung, jika nilai suku ke-8 adalah 24 dan nilai suku ke-12 adalah 36.

Jawaban

1.      a) U32 = a + (n-1) d  = 3 + (32-1)3 = 9	Sn =  = =2460
b)      U32 = a + (n-1) d  = -8 + ( 32-1) 4 = 116	Sn =   =  =2800
3.      Diketahui : U8 = 24, U12 =36 U8 = a + (8-1) d 24= a + 7 d U12 = a + ( 12 – 1 )d 36=a + 11 d a + 7 d  =24 a + 11 d=36 0+ -4d  = -12 d =  -12/-4 d = 3 a + 7 d     =24 a + 7 (-3) = 24 a – 21 = 24 a = 3	Maka : U100 = a + (n-1) d  = 3+ ( 100 – 1 ) 3 = 300

 DERET UKUR

Dirumuskan :

1. Un = arn-1     Sn =  dengan r < 1     Sn =  dengan r > 1        r =   (rasio pembanding)

contoh soal :

1. Tentukan nilai suku ke-9 dari jumlah suku ke-10 dari deret ukur berikut :

Jawaban

r = 

Un = arn-1 = = = = 64	Sn = = = = = - 28,416
2.  Sn = , jika  < 1 = rn =0 Untuk n =    S==

Contoh soal :

 tentukan S.

S== = = 0,5

Harga deret menggunkan netode limit

Contoh :

1. Tentukan limit untuk n =

Jawab

=

=

=

Karena ,

 2.

              ==

DERET KONVERGEN DAN DIVERGEN

Deret yang jumlah n sukunya (S_n) menuju harga tertentu untuk n =, disebut deret konvergen (mengumpul)

Deret yang jumlah n sukunya (S_n)  tidak menuju harga tertentu untuk n =, disebut deret divergen (menyebar)

  Contoh soal :

tentukan apakah deret konvergen atau divergen.

Jawab :

S_n = , r = 1/3:1=1/3

= (deret konvergen)

Tentukan apakah deret konvergen atau deret divergen 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + …

, r = 3 : 1 = 3

=

            =

            =-(deret konvergen)

2.  DIFERENSIAL

Aturan pencarian turunan

1.      Teorema A

Jika f(x) = k, dengan k adalah konstanta, maka sebarang x , , D = diferensial

2.      Teorema B

Jika f (x) =x, maka  atau

3.      Teorema C

f(x) = xⁿ, n = bilangan bulat positif

4.      Teorema D

Jika k adalah konstanta dan f suatu fungsi yang terdefinisikan, maka :

5.      Teorema E

Jika f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka :

6.      Teorema F

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka

7.      Teorema G

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yangt erdiferensialkan , maka

8.      Teorema H

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yangt erdiferensialkan g (x)  , maka

Latihan soal

1. f (x) = 2x²
2. f(x) = 2x ^-3+6x
3. y(x) =

=

=

=

4. y(x) = ( 4x²=1) (7x³+x)

= (4x²) (21x² + 1) + (8x) (7x³+x)

= 84x⁴ + 4x² + 56x⁴ + 8x²

= 140x⁴ + 12 x²

BILANGAN KOMPLEK

Persamaan kuadrat az² + bz + c = 0 yang akar-akarnya yaitu :

Z =

Jika b²-4ac > 0 maka akar-akarnya riil, dan jika d = b²-4ac < 0 maka akar-akarnya komplek dan memuat imajiner.

Bilangan imajiner

=-1

Contoh :

1.

2.  

BIDANG KOMPLEK

                     y

                                                      P(x,y)

                                                     y

                                 

x

Titik p dapat ditulis dalam bentuk koordinat kutub :

Bilangan komplek

=

=

Contoh :

Suatu A dinyatakan dalam bidang komplek , tentukan bidang komplek dan nyatakan dalam koordinat kutub.

Jawab :

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               r= 2                                   

                                      

=

=

=2

=2

=

Bilangan komplek Z

Bagian real Z = x

Bagian imajiner Z = y

Bilangan komplek

=

Komplek konjugat

Jadi komplek konjugat

=

=

Contoh :

1.      Nyatakan dalam koordinat polar (kutub) i-1

Jawab :

( i-1) = (-1+ i )

r =

                                                                                                          

      1                                                                                                                                                                                                          -1                                                                                

                     

=                 

=                  

2.      Nyatakan dalam bentuk eksponensial dan gambar bidang kompleknya :

jawab :

1

Komplek konjugat

Bentuk :

 

Contoh :

Nilai absolut : Z

Maka

Contoh :

 

Persamaan komplek

Pada bilangan perlu diperhatikan memuat pasangan antara bilangan real dan bilangan imajiner.

Misal :

Berarti : x = 2 dan y = 3

Contoh :

Tentukan bilangan real dari x dan y persamaan

Jawab :

Melukis bilangan komplek Z

Pada bidang (x,y)

1.      Lukislah bidang secara geometri (x,y) yang memenuhi persamaan

jawab :

P₂(-x,y)                                            p₁(x,y)                                                                                                                                                                                                                                             r=3                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               p₃(-x,-y)                                   p₄(x,-y)