Pengantar Fisika Matematika

Pengantar Fisika Matematika
Charlie Harper
Department of Physics
California State University, Hayward
Alih Bahasa:
Miftachul Hadi
Applied Mathematics for Biophysics Group
Physics Research Centre LIPI
Puspiptek, Serpong, Tangerang 15314, Banten, Indonesia
http://www.fisika.lipi.go.id
10 Maret 2008
Daftar Isi
1 Analisis Vektor 2
1.1 Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Definisi Istilah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Konsep Fundamental dan Notasi . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Penambahan Vektor tanpa Koordinat . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Sistem Kartesian Vektor Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Basis Ortonormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Vektor Posisi (Vektor Jarak) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.3 Resolusi Rektangular Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.4 Kosinus Berarah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.5 Aljabar Vektor dengan Koordinat . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1
Bab 1
Analisis Vektor
1.1 Pendahuluan
1.1.1 Definisi Istilah
Dalam pernyataan yang berarti dan persamaan mencangkup kuantitas fisis, dimensi
(pangkat atau pangkat yang kuantitas fundamental muncul) dari masing-masing istilah
harus sama. Kuantitas fisis fundamental dalam mekanika didefinisikan sebagai panjang,
L, massa, M, dan waktu, T. Sebagai contoh, 3 mil/menit + 7 cm/detik adalah
pernyataan yang berguna karena dimensi masing-masing suku adalah panjang/waktu,
L/T. Adalah juga penting untuk mengetahui bahwa seluruh kuantitas fisis dapat diklasifikasikan
sebagai tensor.
Kuantitas tensor yang secara lengkap dispesifikasikan oleh besarnya disebut skalar
(tensor peringkat nol). Di sini besaran berarti bilangan dan satuan. (Untuk kuantitas
tak berdimensi, hanya bilangan yang diperlukan.) Kuantitas ”6 kaki” adalah besaran
karena 6 adalah bilangan dan kaki adalah satuan. Kuantitas berikut adalah contoh
skalar: massa, volume, kerapatan, energi, dan temperatur. Operasi aljabar yang valid
untuk skalar adalah sama sebagaimana untuk bilangan biasa.
Kuantitas tensor yang dapat secara lengkap dispesifikasi oleh besarnya dan satu
arah disebut vektor (tensor peringkat satu). Kuantitas ”6 kaki ke barat” adalah vektor
karena ia memiliki besar, 6 kaki, dan satu arah, ke barat. Suatu definisi yang lebih
2
BAB 1. ANALISIS VEKTOR 3
umum dari skalar dan vektor dalam istilah sifat transformasi akan diberikan dalam Bab
9. Kita akan membatasi bab ini terhadap studi tensor peringkat satu (analisis vektor).
Kuantitas berikut adalah contoh-contoh vektor: pergeseran, kecepatan, percepatan,
gaya, dan torki. Adalah perlu bagi kita untuk mengembangkan hukum aljabar vektor
dan kalkulus vektor karena mereka tidak, secara umum, sama sebagaimana untuk
skalar. Subjek analisis vektor dikembangkan oleh J. Willard Gibbs (1839-1903) selama
tahun 1880-1882.
1.1.2 Konsep Fundamental dan Notasi
Cetak huruf tebal digunakan dalam kebanyakan buku teks untuk menunjukkan
kuantitas vektor. Dalam penulisan, salah satu dari notasi tradisional untuk kuantitas
vektor,
!
A, b A, atau A, seharusnya diadopsi. Catat bahwa besar vektor, |A| = A, adalah
skalar. Vektor dengan besar nol disebut vektor nol, dan vektor yang besarnya adalah
satuan, |B| = 1, disebut vektor satuan. Keseluruhan bab ini, simbolbdi atas huruf akan
menyatakan vektor satuan. Sebagai contoh, b B berarti bahwa kuantitas yang diwakili
oleh b B adalah besaran satuan, | b B| = 1.
Dalam Gambar 1.1 sebuah panah digunakan untuk mewakili kuantitas vektor. Arah
kuantitas ditunjukkan oleh kepala panah, dan besar kuantitas dicirikan oleh panjang
panah.
Vektor (Gambar 1.1) A dan B dikatakan sama, A = B, karena mereka memiliki
panjang dan arah yang sama; tetapi mereka tidaklah ekivalen. Suatu pemahaman konsep
vektor ekivalen diperlukan dalam studi mekanika. Agar menjadi ekivalen, kuantitas
vektor harus menghasilkan efek mekanika yang identik.
Vektor −A adalah sama besar terhadap vektorA tetapi berlawanan arah. Perkalian
vektor dengan skalar, n, sehingga nA = An ditunjukkan dalam Gambar 1.1(d).
1.1.3 Penambahan Vektor tanpa Koordinat
Penambahan geometrik vektor diterima dengan menggunakan aturan berikut:
(1) Tempatkan vektor kepala ke ekor. (2) Gambar vektor dari ekor vektor pertama
BAB 1. ANALISIS VEKTOR 4
menuju kepala vektor terakhir. vektorresultan, penjumlahan, adalah vektor
dalam bagian 2 dari aturan. Prosedur ini diilustrasikan dalam Gambar 1.2-1.4.
Perluasan ke jumlah vektor sembarang, dan proses pengurangan adalah trivial karena
A − B = A + (−B).
Operasi pengurangan diilustrasikan dalam Gambar 1.5, dan komutatif, A + B =
B + A, dan asosiatif, (C + D) + E = C + (D + E), hukum-hukum penambahan
ditunjukkan dalam Gambar 1.6.
1.2 Sistem Kartesian Vektor Basis
1.2.1 Basis Ortonormal
Suatu basis ortonormal untuk ruang vektor (lihat Bab 2) tiga dimensi terdiri dari
himpunan tiga vektor saling tegak lurus. Dalam Gambar 1.7, himpunan vektor i, j,
dan k membentuk basis ortogonal normal (basis ortonormal) karena i, j, dan k adalah
vektor satuan yang saling tegak lurus. Sistem ini disebut sistemkoordinat Kartesian
Descartes 1596-1650).
1.2.2 Vektor Posisi (Vektor Jarak)
Posisi objek fisis adalah secara lengkap ditunjukkan oleh vektor posisinya (terkadang
disebut vektorjarak). Vektor posisi adalah vektor yang digambarkan dari titik asal
sistem koordinat menuju objek dalam pertanyaan. Arah, berkaitan dengan sistem koordinat
Kartesian, dapat menjadi sistem koordinat kanan-atau sistem koordinat kiri
sebagaimana ditunjukkan dalam Gambar 1.7. Akan tetapi, kita akan menggunakan
BAB 1. ANALISIS VEKTOR 5
sistem tangan kanan keseluruhan bab ini.
1.2.3 Resolusi Rektangular Vektor
. Vektor posisi, R, dari suatu objek yang ditempatkan pada P(x, y, z) ditunjukkan
dalam Gambar 1.8. Nilai r yang kecil akan digunakan untuk mewakili vektor posisi
!
OP= R = R
!
OA +
!
AB +
!
BP
= xi + yj + k (1.1)
Vektor xi, yj, zk adalah tiga komponen R; mereka adalah perwakilan proyeksi vektor
R pada tiga sumbu koordinat, berturut-turut. Kuantitas-kuantitas x, y, dan z adalah
besar komponen vektor dalam tiga arah berturut-turut.
Penggunaan teorema Pythagoras (Phythagoras, sekitar 572-497 S.M.) dalam Gambar
1.8, kita menemukan bahwa
¡OP¢ = |R|2 = ¡OA¢2
+ ¡AB¢2
+ ¡BP¢2
= x2 + y2 + z2 (1.2)
dimana |R| adalah besar (nilai absolut) R.
Jika proyeksi vektor sembarang A sepanjang tiga sumbu sistem Kartesian adalah
Ax,Ay, dan Az, vektor A dalam bentuk tiga komponen ini dapat ditulis sebagai
A = Axi + Ayj + Azk. (1.3)
Besar A diberikan oleh
|A| = ¡A2
x + A2
y + A2
z¢1/2
. (1.4)
Dalam bentuk komponen, persamaan A = B berarti bahwa
Ax = Bx, Ay = By, dan Az = Bz. (1.5)
BAB 1. ANALISIS VEKTOR 6
1.2.4 Kosinus Berarah
Sudut ®, ¯, dan ° adalah sudut-sudut yang dibuat OP dengan tiga sumbu koordinat
(lihat Gambar 1.8). Disini kita memiliki
x = Rl, y = Rm, dan z = Rn (1.6)
dimana l = cos ®,m = cos ¯, dan n = cos °. Kuantitas l,m, dan n disebut kosinus berarah.
Kombinasikan Pers.(1.2) dan (1.6), kita menemukan bahwa
1 = l2 + m2 + n2.
Untuk vektor sembarang A, kita dapat menulis
A
|A|
= i cos ® + j cos ¯ + k cos °. (1.7)
Dengan jelas, kuantitas A/|A| adalah vektor satuan karena besarnya adalah satu.
Contoh 1.1 Kosinus berarah ruas garis berarah apa dari P1(−1,−4, 5) menuju P2(3,−2, 2)?
Solusi Pada umumnya, kita memiliki
l = cos ® =
¢x
d
, m = cos ¯ =
¢y
d
, dan n = cos ° =
¢z
d
.
Jarak dari P1 menuju P2 adalah
d = p(¢x)2 + (¢y)2 + (¢z)2
= p(3 + 1)2 + (−2 + 4)2 + (2 − 5)2
= 5, 39 satuan.
Oleh karena itu kita menemukan bahwa
l =
4
5, 39
, m =
2
5, 39
, dan n = −
3
5, 39
.
1.2.5 Aljabar Vektor dengan Koordinat
A.Penambahan Subjek aljabar vektor mencangkup pengembangan hukum-hukum
untuk dua operasi berikut: (1) penambahan (pengurangan) dan (2) perkalian. Operasi
BAB 1. ANALISIS VEKTOR 7
penambahan adalah sangat sederhana dan langsung. Untuk menemukan penjumlahan
A dan B, kita menambahkan seperti komponen bersama-sama, yakni
A + B = (Axi + Ayj + Azk) + (Bxi + Byj + Bzk)
= (Ax + Bx)i + (Ay + By)j + (Az + Bz)k. (1.8)
B. Perkalian Skalar (Perkalian T itik) Terdapat dua jenis perkalian yang didefinisikan
untuk vektor: mereka disebut perkalian skalar (titik) dan perkalian vektor (silang).
Perkalian skalar dari dua vektor A dan B adalah skalar dan didefinisikan
sebagai berikut:
A.B ´ |A||B| cos µ
= AxBx + AyBy + AzBz (1.9)
dimana µ sudut lebih kecil antara A dan B ketika mereka ditempatkan ekor ke ekor,
i.i = j.j = k.k = 1, dan i.j = i.k = k.j = 0. Kuantitas |B| cos µ adalah komponen
dari B sepanjang A (lihat Gambar 1.9). Oleh karena itu, perkalian skalar A.B sama
dengan perkalian |A| dan komponen B sepanjang A.
Dari definisi dalam Pers.(1.9). adalah jelas bahwa perkalian skalar adalah komutatif,
dan kita dapat oleh karenanya menulis
A.B = B.A (1.10)
Dari Gambar (1.10), kita mencatat bahwa
|A|(b + c) = |A|b + |A|c skalar
atau
A.(B + C) = A.B + A.C (1.11)
dimana b + c adalah komponen dari B + C sepanjang A, b adalah komponen dari B
sepanjang A, dan c adalah komponen C sepanjang A.
Kerja yang dilakukan oleh gaya konstan, F, didefinisikan dengan menggunakan
perkalian skalar. Dalam bentuk persamaan, definisi ini adalah
W ´ F.D (1.12)
BAB 1. ANALISIS VEKTOR 8
dimana D adalah pergeseran objek. C. Perkalian V ektor (Perkalian Silang)
Perkalian vektor A dan B didefinisikan dengan
A × B ´ |A||B| sin µcN (1.13)
dimana µ adalah sudut yang lebih kecil antara A dan B ketika mereka ditempatkan
ekor ke ekor. Vektor satuan b N tegak lurus terhadap bidang b A dan b B dan dalam arah
lanjut dengan sekrup putar kanan ketika itu diputar dari A menuju B (lihat Gambar
1.11). Catat bahwa
A × B = −B × A (1.14)
karena arah cN.
Karena sin 0o = 0,
i × i = j × j = k × k = 0. (1.15)
Kita juga memiliki (lihat Gambar 1.12)
i × j = k, j × k = i, dan k × i = j. (1.16)
Dalam bentuk komponen-komponen A dan B, perkalian silang A × B dapat ditulis
sebagai
A × B = (Axi + Ayj + Azk) × (Bxi + Byj + Bzk)
= (AyBz − AzBy)i + (AzBx − AxBz)j + (AxBy − AyBx)k
= (1.17)
Persamaan (1.15) dan (??) digunakan untuk memperoleh Pers.(1.17). (Pembahasan
determinan diberikan dalam apendiks Bab 2.)
Dalam mekanika, torka (momen gaya) didefinisikan dengan menggunakan perkalian
vektor (lihat Gambar 1.13), yakni,
¿ torka = R × F (1.18)
D. Pembagian dengan V ektor Karena pembagian secara normal dibahas sebagai
proses kebalikan dari perkalian, kita akan secara alami mengasumsikan bahwa dua jenis
BAB 1. ANALISIS VEKTOR 9
yang berbeda dari proses pembagian (berhubungan dengan tiap-tiap dua jenis proses
perkalian) ada untuk vektor. Akan tetapi, tak ada definisi unik untuk pembagian
dengan vektor. Untuk memahami kesulitan yang tercangkup dalam pengembangan
definisi unik untuk pembagian dengan vektor, tinjau kasus perkalian skalar. Disini
kita memiliki dua vektor A dan B
® = A.B
dimana ® adalah skalar. Perkalian pada sisi sebelah kanan dari persamaan di atas akan
secara normal dihasilkan dari pembagian ® dengan A, ®/A, memberi hasil bagi B.
Akan tetapi, B bukanlah hasil bagi unik ketika diperoleh dalam cara ini karena kita
dapat menulis
® = A.(B + D)
dimana D adalah vektor sembarang tegak lurus terhadap A. Hasil bagi, B + D, untuk
®/A adalah oleh karenanya tidak unik karena B + D adalah vektor sembarang.
Dengan cara serupa, kita dapat menunjukkan bahwa hasil bagi dari A/B tidak unik
jika A = B × C.
Contoh 1.2 Diberikan A = i + 2j + 3k dan B = 3i + 2j + k. Cari
Solusi
(a)
|A| = p12 + 22 + 32
= 3, 74
(b)
A + B = (i + 2j + 3k) + (3i + 2j + k)
= 4i + 4j + 4k
(c)
A − B = (i + 2j + 3k) − (3i + 2j + k)
= −2i + 2k
BAB 1. ANALISIS VEKTOR 10
(d)
A.B = (i + 2j + 3k).(3i + 2j + k)
= 3 + 4 + 3
= 10
(e)
A × B = −4i + 8j − 4k
(f)
bA =
A
|A|
=
i + 2j + 3k
3, 74
dimana b A adalah vektor satuan dalam arah A.
(g)
A.B = |A||B| cos µ
= 14 cos µ
= 10
atau
cos µ =
10
14
= 0, 714
oleh karena itu µ ¼ 44, 40. (h) Dengan definisi, A × B adalah tegak lurus terhadap
kedua A dan B.
b NAB = b A × b B
|A × B|
= −4i + 8j − 4k
9, 8
Contoh 1.3 Ketidaksamaan Cauchy Catat bahwa
(A.B)(A.B) = |A|2|B|2 cos2 µ
· |A|2|B|2
BAB 1. ANALISIS VEKTOR 11
atau
§3
®=1A®B® · ¡§3
®=1A2
®¢1/2 ¡§3
®=1B2
®¢1/2
(1.19)
Ketidaksamaan di atas disebut ketidaksamaan Cauchy.